Matemática para Sistema

Matrices
Reseña Histórica

Los comienzos de las matrices y los determinantes datan del siglo II AC, aunque hay indicios desde IV siglos AC. Sin embargo, no fue hasta fines del siglo XVII que las ideas reaparecieron y se desarrollaron con fuerza. Los comienzos de las matrices y los determinantes surgen a través del estudio de sistemas de ecuaciones lineales. En Babilonia se estudiaron problemas que involucraban a ecuaciones lineales simultáneas y algunos de estos son conservados en tabletas de arcilla que permanecieron en el tiempo.

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. SylvesterEl desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

Clases de matrices

Matriz antisimétrica:

Se trata de una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de la traspuesta.

Todos los elementos de la diagonal principal han de ser iguales a cero ya que no existe el -0, existe el cero. No existe el menos cero ni el más cero. Es un concepto. Existe una pera o no existe una pera. No puede existir la -pera.

Conviene leer despacio para no liarnos.

Observa la matriz siguiente:

Se trata de una matriz antisimétrica porque matrices y determinantes

Comprueba y verás que los valores de las filas de la primera coinciden con los opuestos de los valores de las columnas de la segunda.

Ejercicio #5 Si trazamos una línea por la diagonal principal (eje de simetría) y doblásemos por ella el papel ¿coinciden los valores simétricos?

Respuesta: No, coinciden sus valores opuestos.

Matriz escalonada:

Se dice que una matriz es escalonada cuando al principio de una fila hay un cero más que en la fila anterior:

Al principio de la segunda fila hay un cero más que al comienzo de la fila anterior que es la primera.

Al comienzo de la tercera fila hay dos ceros, es decir, uno más que en la fila anterior que es la segunda.

Al comienzo de la cuarta fila hay tres ceros, es decir, uno más que en la fila anterior que es la tercera.

Ejercicio #6 ¿Son escalonadas la matrices A y B:

Respuesta: Sí. Los elementos nulos o ceros en nuestro caso, cuentan a partir del comienzo de cada línea.

Ejercicio #7 ¿Es escalonada la matriz:

Respuesta: No, porque al comienzo de la tercera fila hay 2 ceros, lo mismo que en la 2ª. Si en la 3ª hubiera tres, entonces sí sería escalonada.

Matriz diagonal:

Es la que todos sus elementos, excepto los que componen su diagonal principal son nulos o ceros:

Matriz identidad:

Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los que componen su diagonal principal que han de ser iguales a 1:

Matriz identidad:

Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los que componen su diagonal principal que han de ser iguales a 1:

Matriz triangular superior:

Es la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos:

Matriz triangular inferior:

Es la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos:

Existen otros tipos de matrices que proceden como resultado de operaciones entre ellas.

OPERACIONES CON MATRICES

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ð 2 y otra de 3 ð 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

Producto de matrices

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2 ð 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 ð 5, la matriz resultante será de orden 2 ð 5.

(2 ð 3) ð (3 ð 5) = (2 ð 5)

Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.

3 ð 5 por 2 ð 3,

Puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.

Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m ð p y B una matriz p ð n. Entonces el producto AB es la matriz m ð n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.

Esto es,

Ejemplo:

Producto por un escalar

El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:

Ejemplo:

Entonces:

División de matrices

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.

Ejemplo:

NUMERO COMPLEJOS

RESEÑA HISTORICA

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide.

Los números complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos.

El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Los números complejos tienen a la Ingeniería Eléctrica como campo fundamental de aplicación práctica, no obstante están presentes en otras disciplinas científicas.

DEFINICION DE NUMEROS COMPLEJOS

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. La clase Complejo constará de dos miembros dato, la parte real real, y la parte imaginaria.

UNIDAD IMAGINACION

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³= −i

i⁴ = 1

Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro.

Para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i²²

i²²= (i⁴)⁵ · i² = − 1

i²⁷= −i

CONJUGADO DE NUMEROS COMPLEJO

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Así se escribirá:

Propiedades de los conjugados

· Primera propiedad

El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

Demostración:

En efecto si z = a + bi se tiene que

= a - bi , de donde,

= a + bi = z

· Segunda propiedad

Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Esto se expresa escribiendo que

Demostración:

Tomando z = a + bi y z' = c + di , se tiene:

= a + bi y

' = c - di , con lo que

' = (a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i

Por otra parte:

y es fácil ver que esta expresión coincide con la anterior.

· Tercera propiedad

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:

Demostración:

Si z = a + bi y z = c + di se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i , cuyo conjugado es

= (ac - bd) - (ad + bc)i .

Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que

' = (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .

El resultado es igual al anterior.

· Cuarta propiedad

Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

Demostración:

Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado. Esto equivale a que

a + bi = a - bi

Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.

· Quinta propiedad

La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales.

Demostración:

(a + bi ) + (a - bi ) = 2a

(a + bi ) (a - bi ) = a² - (bi )² = a² + b²

OPERACIONES

Suma, resta, multiplicación y división de números complejos en forma binómica.

Sean los números complejos z = a + bi y w = c + di. Definimos:

Suma.- Para sumar dos o más números complejos se suman las partes real e imaginaria de cada uno de ellos.

z + w = (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

Multiplicación.- Para multiplicar números complejos se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta que i ² = -1.

z . w = (a + bi) . (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

División.- Para dividir dos números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. (El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo).

Resta: Siendo

como antes, se tiene que

$\displaystyle z_1-z_2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$ I

SUMA CON NUMEROS COMPLEJOS

La suma de números complejos se realiza sumando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

( 5 + 2 i) + ( −8 + 3 i) =

= (5 − 8) + (2 + 3)i = −3 + 5i

RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS

La diferencia de números complejos se realiza restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

( 5 + 2 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 4) + (2 + 2)i = 1 + 4i

MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =

=10 − 15i + 4i − 6 i² = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS

La división es la operación inversa de la multiplicación. Esto es, dividir un número complejo entre otro es el resultado de multiplicar el primero por el inverso del segundo.

Ejercicios